Details
Башмаков, Рустэм Абдрауфович. Студенческий кружок «Математический анализ и его приложения»: учебное пособие / Р. А. Башмаков, О. Г. Коробчинская, А. А. Махота; Уфимский университет науки и технологий. — Уфа: Уфимский университет, 2026. — Электрон. версия печ. публикации. — Доступ возможен через Электронную библиотеку УУНИТ. — <URL:https://elib.bashedu.ru/dl/local/BahmakovRA_idr_Matanaliziegopriloj_up_2026.pdf>. — Текст: электронный
Record create date
11/12/2026
Subject
MATLAB; метод Эйлера; обратная задача; культура самостоятельной работы; интерполяция; системы дифференциальных уравнений; численные методы
Collections
Allowed Actions
–
Action 'Read' will be available if you login or access site from another network
Action 'Download' will be available if you login or access site from another network
| Group | Anonymous |
|---|---|
| Network | Internet |
| Network | User group | Action |
|---|---|---|
| Library BashGU Local Network | Authenticated users |
|
| Library BashGU Local Network | All |
|
| Internet | Authenticated users |
|
| Internet | All |
|
- Введение. MATLAB для прикладных математиков
- Введение: Зачем нам MATLAB?
- Философия MATLAB: матрицы и векторизация
- Главное отличие: всё есть матрица
- Как создавать массивы
- Главная ловушка: матричные vs поэлементные операции
- Индексация: начинается с единицы!
- Векторизация: убиваем циклы
- Логическая индексация: фильтрация без циклов
- Графика в MATLAB
- Базовые команды
- Пример: строим красивый график
- Скрипты и функции
- Скрипты
- Функции
- Анонимные функции
- Встроенные решатели: сила MATLAB
- Алгебра и уравнения
- Математический анализ
- Задания для самостоятельной работы
- Заключение
- Глава 1. Пределы и предсказание будущего: от наивного роста к реальности
- Мотивация: зачем прикладному математику пределы?
- Наивная модель: экспоненциальный рост
- Постановка модели
- Явное решение
- Что говорит предел?
- Логистическая модель: учёт ограниченности ресурсов
- Идея модификации
- Физический смысл параметров
- Магия пределов: находим будущее без решения уравнения
- Стационарные точки
- Конкретный расчёт: кролики на острове
- От дискретного к непрерывному: мостик к производной
- Поведение системы при различных 𝒓
- Вычислительный эксперимент
- Области применения логистической модели
- Задачи для самостоятельного решения
- Резюме главы
- Приложение. Структура MATLAB-файла
- Глава 2. От производной к алгоритму: метод Эйлера и ловушки численного дифференцирования
- От биологии к инженерии: универсальность логистики
- Ловушка численного дифференцирования
- Метод Эйлера: геометрия, ставшая алгоритмом
- Эксперимент с шагом: когда компьютер обманывает физику
- Задачи для самостоятельного решения
- Глава 3. Шум, сглаживание и «проклятие дифференцирования»
- Почему идеальных данных не бывает?
- Источники шума в реальных задачах
- Генерация зашумленных данных
- Методы сглаживания данных
- Метод 1: Скользящее среднее (Moving Average)
- Метод 2: Медианный фильтр
- Проклятие дифференцирования
- Математическое объяснение
- Демонстрация на практике
- Золотое правило инженера
- Резюме главы
- Глава 4. Обратная задача: калибровка модели по данным
- Постановка обратной задачи
- Что мы имеем
- Что мы не знаем
- Что мы хотим
- Метод 1: Линеаризация через производную
- Математическое преобразование
- Алгоритм на практике
- Реализация в MATLAB
- Визуализация результата
- Метод 2: Нелинейная оптимизация (fminsearch)
- Идея метода
- Геометрическая интерпретация
- Реализация в MATLAB
- Визуализация результата
- Сравнение методов
- Преимущества и недостатки
- Практическая рекомендация. Оптимальный пайплайн:
- Задачи для самостоятельного решения
- Резюме главы
- Постановка обратной задачи
- Глава 5. Аппроксимация данных и культура самостоятельной работы
- Многопараметрический МНК: за пределами прямой линии
- Аппроксимация полиномами
- Сплайны: умная склейка
- Когда что использовать?
- Культура самостоятельной работы
- Правило 15 минут
- Журнал ошибок (Error Log)
- Искусственный интеллект как репетитор
- Плохие промпты (Путь к деградации)
- Хорошие промпты (Путь к пониманию)
- Резюме главы
- Глава 6. Интерполяция и сплайны: от идей к формулам
- Введение: Зачем нам интерполяция?
- Интерполяция многочленами
- Постановка задачи
- Форма Лагранжа: «Конструктор из кирпичиков»
- Форма Ньютона: «Построение по слоям»
- Проблема многочленов высокой степени: Явление Рунге
- Демонстрация явления Рунге в MATLAB
- Сплайны – кусочная мудрость
- Ключевая идея сплайнов
- Линейные сплайны: простейший случай
- Кубические сплайны: золотой стандарт
- Подробный вывод кубических сплайнов
- Приведение к трехдиагональной системе
- Итоговый алгоритм построения кубического сплайна
- Гладкость и сравнение методов
- Классы гладкости
- Сравнение методов
- Сравнение с готовыми пакетами
- Многомерные случаи и развитие идей
- Интерполяция на плоскости
- Проблемы многомерных случаев
- Альтернативы для многомерных случаев
- Радиальные базисные функции (RBF):
- Метод конечных элементов (FEM):
- Идеи для развития
- Вопросы для размышления
- Базовые вопросы
- Продвинутые вопросы
- Исследовательские вопросы
- Заключение
- Глава 7. Системы дифференциальных уравнений: моделирование взаимодействующих процессов
- Мотивация: Почему одного уравнения мало?
- Математическая постановка
- Общий вид системы ОДУ
- Векторная форма записи
- Модель Лотки – Вольтерры: Хищник – Жертва
- Историческая справка
- Вывод уравнений
- Уравнение для зайцев:
- Уравнение для волков:
- Итоговая система Лотки – Вольтерры:
- Физический смысл параметров
- Точки равновесия
- Метод Эйлера для систем
- Обобщение метода Эйлера
- Реализация в MATLAB
- Фазовые портреты: вся динамика на одной картинке
- Что такое фазовый портрет?
- Построение фазового портрета в MATLAB
- Предельные циклы
- Векторное поле
- Модель SIR: Эпидемия
- Постановка модели
- Вывод уравнений
- Базовое репродуктивное число ,𝑹-𝟎.
- Реализация в MATLAB
- Анализ устойчивости
- Линеаризация в окрестности точки равновесия
- Матрица Якоби
- Анализ устойчивости через собственные значения
- Вопросы для размышления
- Задачи для самостоятельного решения
- Заключение
- Глава 8. Численные методы вычисления интегралов
- Введение
- Общая идея квадратурных формул
- Метод прямоугольников
- Геометрическая идея
- Формула левых прямоугольников
- Формула правых прямоугольников
- Формула средних прямоугольников
- Почему средние прямоугольники лучше?
- Итоговая таблица для метода прямоугольников
- Метод трапеций
- Геометрическая идея
- Составная формула трапеций
- Оценка погрешности
- Метод Симпсона (парабол)
- Геометрическая идея
- Вывод формулы на двойном отрезке
- Составная формула Симпсона
- Оценка погрешности
- Почему порядок 4, а не 3?
- Встроенные функции MATLAB
- Функция integral
- Функция trapz
- Функция cumtrapz
- Функции для кратных интегралов
- Устаревшие функции (для справки)
- Практические рекомендации
- Задания для самостоятельной работы
...
