BashGU
Electronic Library

     
?

Details
Card Table RUSMARC

Акчурин, Руслан Зуфарович. Методы математического моделирования и численные подходы в вычислительной физике: учебное пособие / Р.З. Акчурин, Ф.Ф. Давлетшин, Т.Р. Хабиров; Уфимский университет науки и технологий. — Уфа: Уфимский университет, 2025. — Электрон. версия печ. публикации. — Доступ возможен через Электронную библиотеку УУНИТ. — <URL:https://elib.bashedu.ru/dl/local/AkchurinRZ_i dr_Metod.matem.modelirov.i chislen.podhodi v vichisl.fizike_up_2025.pdf>. — Текст: электронный

Record create date: 1/28/2026

Subject: математическое моделирование; интерполяция; численное интегрирование; дифференцирование; система линейных алгебраических задач; система нелинейных уравнений; численные методы

Collections: Общая коллекция

Allowed Actions: –

*^% Action 'Read' will be available if you login and work on the computer in the reading rooms of the Library *^% Action 'Download' will be available if you login and work on the computer in the reading rooms of the Library

Group: Anonymous

Network: Internet

Document access rights

Network User group Action
Library BashGU Local Network Authenticated users Read Download
Library BashGU Local Network All Read Download
Internet Authenticated users Read Download
-> Internet All

Table of Contents

  • ВВЕДЕНИЕ
  • 1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
    • 1.1. Математическое моделирование как метод научного познания
    • 1.2. Классификация математических моделей
    • 1.3. Этапы построения математической модели
  • 2. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ, ЧИСЛЕННЫЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
    • 2.1. Интерполяция алгебраическими многочленами
    • 2.2. Линейная и квадратичная интерполяция
    • 2.3. Сплайн-интерполяция
    • 2.5. Метод наименьших квадратов
    • 2.6. Численное интегрирование
      • 2.6.1. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса
      • Методы прямоугольников основаны на замене функции константой (многочленом нулевой степени) на каждом элементарном отрезке.
      • Метод трапеций (линейная аппроксимация): если на каждом отрезке [xi, xi+1] соединить значения f(xi) и f(xi+1) прямой линией, то площадь под этой линией будет площадью трапеции:
      • Метод Симпсона (параболическая аппроксимация) использует интерполяцию функции многочленом второй степени (параболой) по трем точкам. Для применения составной формулы Симпсона необходимо, чтобы количество элементарных отрезков n было четным. Площадь по...
      • 2.6.2. Квадратурные формулы Гаусса
      • 2.6.3. Оценка точности и правило Рунге
    • 2.7. Численное дифференцирование
  • 3.МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
    • 3.1. Введение в СЛАУ
      • 3.1.1. Основные определения
      • 3.1.2. Постановка задачи
      • 3.1.3. Классификация СЛАУ
      • 3.2.4. Теорема Кронекера-Капелли
      • 3.2.5. Структура общего решения СЛАУ
    • 3.2. Численные аспекты и устойчивость решения
      • 3.2.1. Понятие обусловленности матрицы. Число обусловленности
      • 3.2.2. Плохо обусловленные системы и их физический смысл
      • 3.2.3. Ошибки округления и их влияние на точность решения
    • 3.3. Прямые методы решения
      • 3.3.1. Метод Гаусса
      • 3.3.2. Метод Крамера
      • 3.3.3. Матричный метод
    • 3.4. Итерационные методы решения
      • 3.4.1. Метод простой итерации (метод Якоби)
      • 3.4.2. Метод Гаусса-Зейделя
      • 3.4.6. Метод верхней релаксации (Successive Over-Relaxation, SOR)
    • 3.5. Методы решения СЛАУ специального вида
      • 3.6.1. Разложение Холецкого
      • 3.6.2. Трехдиагональная прогонка
      • 3.6.3. Блочная трехдиагональная прогонка
      • 3.6.4. Разреженные матрицы
    • 3.6. Практическое применение и рекомендации
      • 3.6.1. Инженерные расчеты (метод конечных элементов, МКЭ)
      • 3.6.2. Электротехника (законы Кирхгофа)
      • 3.6.3. Экономика (модель «затраты-выпуск»)
      • 3.6.3. Рекомендации по выбору метода решения
  • 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
    • 4.1. Метод дихтомии
    • 4.2. Метод золотого сечения
    • 4.3. Метод простых итераций
    • 4.4. Метод Ньютона
  • 5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
    • 5.1. Введение в системы нелинейных уравнений
      • 5.2. Метод простой итерации
    • 5.3. Метод Ньютона (метод касательных)
    • 5.4. Квазиньютоновские методы (Метод Бройдена)
      • 5.4.1. Метод Бройдена
    • 5.5. Оптимизационные методы решения СНУ
      • 5.5.1. Метод градиентного спуска
      • 5.5.2. Метод Левенберга-Марквардта (LMA)
    • 5.6. Продвинутые методы и практические рекомендации
      • 5.6.1. Продвинутые методы
      • 5.6.2. Практические аспекты решения
      • 5.6.3. Рекомендации по выбору метода
  • 6. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
    • 6.1. Методы решения задачи Коши
      • 6.1.1. Постановка задачи и основы численного подхода
      • 6.1.2. Классификация и принципы работы численных методов
      • 6.1.3. Точность, ошибка и порядок метода
    • 6.2. Метод Рунге-Кутта
      • 6.2.1. Формальное определение s-стадийного метода
      • 6.2.2. Таблица Бутчера: Компактная запись метода
    • 6.3. Метод Эйлера
      • 6.3.1. Геометрический смысл
      • 6.3.2. Формальное определение и алгоритм
    • 6.4. Краевая задача
      • 6.4.1. Метод стрельбы
      • 6.4.2. Метод конечных разностей для краевых задач
      • 6.4.3. Аппроксимация граничных условий II и III рода
  • 7. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
    • 7.1. Уравнения математической физики
      • 7.1.1. Гиперболический тип — Уравнения волн
      • Канонический представитель: Волновое уравнение
      • где U(x, t) — отклонение от положения равновесия (например, высота струны, давление в звуковой волне), a — скорость распространения волны.
      • Физический смысл и свойства решений
      • 7.1.2. Параболический тип — Уравнения диффузии
      • Канонический представитель: Уравнение теплопроводности (диффузии)
      • Физический смысл и свойства решений
      • 7.1.3. Эллиптический тип — Уравнения стационарных состояний
      • Канонический представитель: Уравнение Лапласа и Пуассона
      • Физический смысл и свойства решений
    • 7.2. Конечно-разностные методы
      • Как аппроксимировать производные?
      • Конечно-разностная схема
      • 7.2.1. Явные схемы
      • Преимущества и недостатки
      • 7.2.2. Неявные схемы
      • 7.2.3. Метод Кранка-Николсона
    • 7.3. Метод контрольного объема
      • Метод конечных разностей (КРМ) начинается с дифференциальной формы уравнения (например, ∂U/∂t = ...) и аппроксимирует производные в узлах сетки. Он отвечает на вопрос: «Как меняется величина в точке?».
      • При дискретизации область разбивается на контрольные объемы. В 1D это отрезки, в 2D — многоугольники (часто прямоугольники или треугольники), в 3D — многогранники. Узел сетки i обычно находится в центре контрольного объема Vᵢ.
      • Для повышения точности аппроксимации конвективных потоков разработано множество схем более высокого порядка, которые стремятся достичь компромисса между точностью и устойчивостью. Ниже приведены наиболее распространённые из них.
      • Области применения
  • ЛИТЕРАТУРА
    • Основная литература:
    • Дополнительная литература:

Usage statistics

stat Access count: 0
Last 30 days: 0
Detailed usage statistics